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傅里叶级数展开为什么不能有第二类间断点
100次浏览 发布时间：2024-08-30 08:06:11傅里叶级数中的迪利克雷条件：
间断点的类型如下：
第一类间断点，分为可去间断点和跳跃间断点；
第二类间断点，包括无穷间断点与振荡间断点。
傅里叶级数可以在函数只存在第一类间断点的情况下进行展开，这种情况作者已经在《傅里叶级数关于第一类间断点的问题》一文中进行过讨论。
本文大致分析一下傅里叶级数为什么不能在第二类间断点的情况下进行傅里叶级数展开。
首先看无穷间断点：
在无穷间断点x0处，函数值f(x0)为无穷大，按照傅里叶级数展开式
个人是这样理解的：
假设x=0时，f(0)是无穷大，则上图展开式的右边在x=0的时候同样必须是无穷大。观察右边，正弦函数在x=0时等于0，余弦函数在x=0时等于1，这也就意味着系数an必须至少有一个或者多个是无穷大，那么这种展开式是无意义的。因为不管an还是bn为无穷大，都意味着按照下式
的积分计算公式是不可积的。
再看跳跃间断点：
该函数在越靠近0的地方，跳跃越频繁。比如当x从0.02变到0.01的时候，1/x变化100弧度，相当于出现了10多个正弦函数的最大值和最小值；而当x从0.002变到0.001的时候，1/x则变化1000弧度，相当于出现了100多个正弦函数的最大值和最小值；以此类推，当x无限趋于0时，sin1/x函数的极值点出现频率也趋于无穷大。虽然sin1/x这个函数本身的周期是2pi，但一个周期内，极大值和极小值的个数反映了这个函数最高频成分的频率是多大等相关信息。如果一个周期内极大值和极小值的个数有无限多个，则这个函数的最高频率成分也是无限的，虽然傅里叶级数的项数是无限的，最高频率也是无限的，但是无限高频率的函数是分解不成无限高频率的组合的。
所以狄利克雷条件有一条，在一个周期内，极大值和极小值的数目应该是有限个。
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